2022학년도 6모 수학 미적분

2022학년도 6월 모의평가 수학(미적분) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 21번과 20번

미적분 응시자에게도 공통 22번(95.6%)이 가장 어려웠습니다. 이 페이지에서는 그다음인 21번(89.9%)과 20번(74.4%)을 풀어 봅니다.

21번은 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)가 (가) (xⁿ−64)f(x)=0의 서로 다른 실근이 2개이고 각각 중근이며, (나) f의 최솟값이 음의 정수가 되도록 하는 자연수 n의 합을 묻습니다. f의 최솟값이 음수이면 f는 서로 다른 두 실근을 가지므로, 그 두 근이 xⁿ=64의 근과 하나씩 겹쳐야 모두 중근이 됩니다. n이 홀수이면 xⁿ=64의 실근이 하나뿐이라 불가능합니다. n이 짝수이면 근이 ±64^(1/n)이므로 f(x)=x²−64^(2/n)이고, 최솟값 −2^(12/n)이 정수가 되려면 n이 12의 약수인 짝수여야 합니다. n=2, 4, 6, 12이므로 합은 24입니다.

20번은 f(x)=x³−12x²+45x+3과 g(x)=∫ₐˣ{f(x)−f(t)}{f(t)}⁴dt가 극값을 하나만 갖게 하는 a의 합을 묻습니다. g(x)를 정리해 미분하면 g′(x)=f′(x)×∫ₐˣ{f(t)}⁴dt입니다. f′(x)=3(x−3)(x−5)는 3과 5에서 부호가 바뀌고, 뒤의 적분은 x=a에서만 부호가 바뀝니다. 부호 변화가 세 번이면 극값이 셋이므로, a가 3이나 5와 겹쳐 그 점의 부호 변화가 사라져야 극값이 하나가 됩니다. 그래서 답은 3+5=8입니다.

미적분 30번과 29번

30번(4점, 91.0%)은 t>(1/2)ln2일 때 곡선 y=ln(1+e^(2x)−e^(−2t))와 직선 y=x+t의 두 교점 사이 거리를 f(t)로 두고 f′(ln2)를 묻습니다. 교점의 x좌표가 t에 따라 움직이므로 교점 조건식을 t에 대해 미분해 x좌표의 변화율을 구하고, 거리 식에 넣어야 했습니다. 답은 11입니다.

29번(4점, 76.7%)은 t>2e일 때 f(x)=t(ln x)²−x²이 x=k에서 극대가 되는 k를 g(t)로 둡니다. f′(x)=0에서 t ln k=k²이므로 t=k²/ln k로 거꾸로 쓸 수 있습니다. g(α)=e²이면 α=e⁴/2이고, dt/dk를 k=e²에서 계산하면 3e²/4이므로 g′(α)=4/(3e²)입니다. α×{g′(α)}²=8/9이므로 답은 17입니다.