2023학년도 6모 수학 미적분

2023학년도 6월 모의평가 수학(미적분) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 20번과 21번

미적분 응시자에게도 공통 22번(97.7%)이 가장 어려웠습니다. 이 페이지에서는 그다음인 20번(87.5%)과 21번(84.7%)을 풀어 봅니다. 15번(75.4%), 14번(62.0%)도 오답률이 높았습니다.

20번은 최고차항의 계수가 2인 이차함수 f(x)에 대해 g(x)=∫ₓ^(x+1)|f(t)|dt가 x=1과 x=4에서 극소일 때 f(0)을 묻습니다. g′(x)=|f(x+1)|−|f(x)|이므로 극소점에서는 |f(2)|=|f(1)|, |f(5)|=|f(4)|가 성립해야 합니다. 절댓값이 같다는 것은 두 값이 같거나 부호만 반대라는 뜻이라 경우가 셋 나옵니다. 이 중 두 점에서 모두 g′의 부호가 −에서 +로 바뀌는 것은 f(2)=−f(1), f(5)=−f(4)인 경우뿐이고, 이때 f(x)=2x²−12x+13이므로 답은 13입니다. 대칭축이 x=3인 그래프가 x축 아래로 내려가는 구간이 있다는 그림을 떠올리면 경우를 빨리 줄일 수 있습니다.

21번은 4log₆₄(3/(4n+16))이 정수가 되는 1000 이하 자연수 n의 합을 묻습니다. 4log₆₄x=(2/3)log₂x이므로 이 값이 정수 m이 되려면 x=2^(3m/2)이고, 3/(4n+16)이 1보다 작으니 m은 음의 짝수여야 합니다. 그러면 4n+16=3×8^j 꼴이 되어 n=2, 44, 380이 나오고 합은 426입니다.

미적분 29·30번, 둘 다 90% 이상

미적분 29번(4점, 90.0%)은 반지름 1, 중심각 π/2인 부채꼴 OAB의 호 위 점 P에서 OA에 내린 수선의 발 H, ∠OAP의 이등분선이 HP·OP·OB와 만나는 점 Q·R·S로 삼각형 AQH의 넓이 f(θ)와 PSR의 넓이 g(θ)를 정의했습니다(θ=∠APH). θ³g(θ)/f(θ)의 극한 k에 대해 100k=50입니다. θ가 0에 가까울수록 P가 A 쪽으로 붙어 f(θ)가 매우 빠르게 작아지므로, 분모와 분자의 차수를 각 길이의 θ 근사식으로 맞춰 보는 것이 풀이의 중심이었습니다.

30번(4점, 93.9%)은 f(x)=(x²−ax)/e^x에서 x=t에서의 접선 y=f′(t)(x−t)+f(t)와 곡선의 교점 개수 g(t)를 다룹니다. g(5)+lim(t→5) g(t)=5라는 조건으로 a를 정하고, g(t)의 좌극한과 우극한이 달라지는 k를 모두 찾아 더하는 문항입니다. 접선이 곡선과 몇 번 만나는지는 변곡점과 접선의 위치 관계로 바뀌므로, f″(x)의 부호가 바뀌는 지점과 접점이 변곡점을 지나는 순간을 함께 따져야 했습니다.