2023학년도 6모 수학 확률과통계

2023학년도 6월 모의평가 수학(확률과 통계) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 15번과 14번

확률과 통계 응시자도 공통 22번(97.7%)이 오답률 1위였고, 20번(87.5%)과 21번(84.7%)이 뒤를 이었습니다. 이 페이지에서는 객관식 고난도인 15번(75.4%)과 14번(62.0%)을 살펴봅니다.

15번은 자연수 k에 대해 a₁=0이고, aₙ≤0이면 aₙ₊₁=aₙ+1/(k+1), aₙ>0이면 aₙ₊₁=aₙ−1/k인 수열에서 a₂₂=0이 되는 k의 합을 묻습니다. 0에서 출발해 한 번 올라가면(+1/(k+1)) 양수가 되어 내려오고(−1/k) 다시 음수가 되는 식으로 0 근처를 오갑니다. 올라간 횟수를 p, 내려간 횟수를 q라 하면 p+q=21이고 p/(k+1)=q/k여야 합니다. 이를 만족하는 k는 1, 3, 10이므로 합은 14(②)입니다.

14번은 연속함수 f(x)와 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 g(x)가 x<0에서 g(x)=−∫₀ˣf(t)dt, x≥0에서 g(x)=∫₀ˣf(t)dt를 만족하는 상황입니다. 양쪽을 미분하면 g′(x)가 x>0에서 f(x), x<0에서 −f(x)이고, g′이 연속이므로 f(0)=0입니다(ㄱ). g(x)=x³+ax²로 놓으면 f는 x≥0에서 3x²+2ax, x<0에서 −(3x²+2ax)가 됩니다. a=0이면 f가 계속 증가해 극댓값이 없으므로 ㄴ은 항상 참이 아닙니다. 2<f(1)<4이면 −1/2<a<1/2이고, f(x)=x는 x=0, x=(1−2a)/3>0, x=−(1+2a)/3<0의 세 실근을 가져 ㄷ은 참입니다. 정답은 ④ ㄱ, ㄷ입니다.

확률과 통계 30번과 29번

30번(4점, 93.2%)은 1부터 12까지 적힌 공 12개에서 3개를 꺼내 작은 순서대로 a, b, c라 할 때, b−a≥5라는 조건에서 c−a≥10일 확률을 묻는 조건부확률 문항입니다. b−a≥5인 경우의 수를 a의 값별로 세면 분모가 되고, 그중 c−a≥10인 것만 다시 세면 분자가 됩니다. 확률은 2/7이므로 답은 9입니다. a가 1 또는 2일 때만 c−a≥10이 가능하다는 점에서 분자는 금방 줄어듭니다.

29번(4점, 86.4%)은 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로 가는 함수 중 (가) f(f(1))=4, (나) f(1)≤f(3)≤f(5)를 만족하는 것의 개수로 답은 115입니다. f(1)=1이면 f(1)=4와 모순이므로 f(1)은 2~5 중 하나이고, f(1)의 값마다 f(f(1))=4로 정해지는 함숫값과 (나)의 대소 조건이 서로 겹치는 방식이 달라집니다. 그래서 f(1)의 값으로 경우를 나눠 세어야 했습니다.