2022학년도 수능 수학 확률과통계

2022학년도 수능 수학(확률과 통계) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 14번과 15번

확률과 통계 응시자에게도 공통 22번(93.0%)과 20번(84.9%), 21번(73.2%)이 어려웠습니다. 이 페이지에서는 객관식 14번(70.4%)과 15번(62.8%)을 풀어 봅니다.

14번은 위치가 x(t)=t(t−1)(at+b)인 점이 0≤t≤1에서 움직인 거리 ∫₀¹|v(t)|dt=2를 만족할 때를 묻습니다. x(0)=x(1)=0이므로 ∫₀¹v(t)dt=0입니다(ㄱ). 점이 한 방향으로 갔다가 돌아오기만 한다면 움직인 거리는 '가장 멀리 간 거리의 2배'이므로 최대 |x|가 정확히 1이 되어 |x(t₁)|>1인 순간은 없습니다. 따라서 ㄴ은 항상 참이 아닙니다. 반대로 모든 t에서 |x(t)|<1이라면 한 번 다녀오는 것만으로는 거리 2를 채울 수 없으니 원점을 지나 반대쪽으로 넘어가야 하고, (0, 1)에 x(t₂)=0인 t₂가 생깁니다(ㄷ). 정답은 ③ ㄱ, ㄷ입니다.

15번은 반지름이 O₁O₂인 두 원과 각 θ₁, θ₂, θ₃로 AB:CD를 구하는 증명형 빈칸 문항입니다. AB=k, AB:O₁D=1:2√2에서 tan(θ₁/2)=1/(2√2)이므로 (나) cos(θ₁/2)=2√2/3이고, 반지름이 3k/2이므로 (가) AO₂=3k입니다. 삼각형 O₂BC에 코사인법칙을 쓰면 O₂C가 3k 또는 7k/3이 나오는데, 그림의 위치에 맞는 (다)는 7k/3입니다. 따라서 f(p)×g(p)=3p×(7/3)p=7p²=56/9(②)입니다.

확률과 통계 30번, 96.4%

30번(4점, 96.4%)은 이 회차 확률과 통계 응시자 기준 오답률 1위였습니다. 주사위를 던져 5 이상이면 흰 공 2개, 4 이하면 검은 공 1개를 주머니에 넣는 시행을 5번 할 때, 주머니 속 공이 7개 이상(a₅+b₅≥7)이라는 조건에서 중간에 흰 공과 검은 공 수가 같아진 적이 있을 확률을 묻습니다. 공이 7개 이상이려면 흰 공을 넣은 횟수가 2번 이상이어야 하고, a_k=b_k는 그때까지 검은 공을 넣은 횟수가 흰 공을 넣은 횟수의 2배가 되는 순간입니다. 경우를 나눠 더하면 확률은 60/131이고 답은 191입니다.

29번(4점, 91.4%)은 0≤x≤6에서 f(x)+g(x)=k(상수)인 두 확률밀도함수를 다룹니다. 두 함수를 0부터 6까지 적분하면 각각 1이므로 6k=2, k=1/3입니다. P(2≤Y≤5)는 1에서 ∫₂⁵f(x)dx=5/24+1/2=17/24를 뺀 7/24이므로 답은 31입니다. 28번(4점, 79.5%)까지 더해 선택과목 세 문항이 모두 80% 안팎이었습니다.