2022학년도 9모 수학 미적분

2022학년도 9월 모의평가 수학(미적분) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 21번과 20번

미적분 응시자에게도 공통 22번(96.1%)이 가장 어려웠습니다. 이 페이지에서는 그다음인 21번(88.5%)과 20번(78.1%)을 풀어 봅니다.

21번은 직선 y=−x+4가 두 곡선 y=a^(x−1), y=logₐ(x−1)과 만나는 점을 A, B, 곡선 y=a^(x−1)이 y축과 만나는 점을 C라 할 때, AB=2√2이면 삼각형 ABC의 넓이를 묻습니다. 두 곡선은 직선 y=x−1에 대해 서로 대칭이고, y=−x+4는 그 직선과 수직으로 (2.5, 1.5)에서 만납니다. 따라서 A, B는 이 점에서 √2씩 떨어져 A(1.5, 2.5), B(3.5, 0.5)가 됩니다. a^0.5=2.5에서 a=6.25이고 C(0, 0.16)이므로 넓이는 3.84, 50S=192입니다. 대칭축을 찾는 순간 계산이 한 번에 풀리는 문항이었습니다.

20번은 f(x)=½x³−(9/2)x²+10x에 대해 f(x)+|f(x)+x|=6x+k의 서로 다른 실근이 4개가 되는 정수 k의 합을 묻습니다. f(x)+x의 부호에 따라 좌변이 2f(x)+x 또는 −x로 갈라지므로, 두 조각을 이어 붙인 그래프와 직선 y=6x+k의 교점을 세면 됩니다. 조각이 바뀌는 지점과 접하는 순간을 기준으로 k의 범위를 나누면 답은 21입니다.

미적분 30번과 29번

30번(4점, 95.1%)은 최고차항의 계수가 9인 삼차함수 f(x)가 (가) lim(x→0) sin(π×f(x))/x=0, (나) 극댓값과 극솟값의 곱이 5를 만족하고, 0≤x<1에서 g(x)=f(x), g(x+1)=g(x)로 정의한 g가 연속일 때 ∫₀⁵xg(x)dx를 묻습니다. (가)에서 f(0)은 정수여야 하고, 분자가 x보다 빨리 0으로 가려면 f′(0)=0까지 필요합니다. g가 연속이려면 f(1)=f(0)이어야 하며, 이 조건들과 (나)로 f가 정해집니다. 답은 115입니다.

29번(4점, 82.6%)은 이차함수 f(x)로 g(x)={f(x)+2}e^(f(x))를 만들고, (가) f(a)=6인 a에서 g가 최댓값을 갖고 (나) x=b, b+6에서 최솟값을 가질 때 f(x)=0의 두 근 차의 제곱을 묻습니다. g는 t=f(x)에 대한 함수 (t+2)eᵗ로 보면 t=−3에서 가장 작아지므로, f(b)=f(b+6)=−3이고 f의 최댓값이 6입니다. 대칭축에서 3만큼 떨어진 곳의 값이 꼭짓점보다 9 작으므로 f(x)=−(x−p)²+6 꼴이 되고, (α−β)²=24입니다.