2022학년도 수능 수학 미적분

2022학년도 수능 수학(미적분) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 20번과 21번

미적분 응시자에게도 공통 22번(93.0%)이 가장 어려웠습니다. 이 페이지에서는 20번(84.9%)과 21번(73.2%)을 살펴봅니다. 14번(70.4%), 15번(62.8%)도 오답률이 높았습니다.

20번은 실수 전체에서 미분가능한 f(x)가 (가) [0, 1]에서 f(x)=x, (나) x≥0에서 f(x+1)−xf(x)=ax+b를 만족할 때 60∫₁²f(x)dx를 묻습니다. (나)에 x=0을 넣으면 f(1)=b이므로 b=1입니다. [0, 1]에서 f(x+1)=x²+ax+1이 되는데, x=1에서 미분가능하려면 왼쪽 기울기 1과 오른쪽 기울기 a가 같아야 하므로 a=1입니다. 그러면 ∫₁²f(x)dx=∫₀¹(x²+x+1)dx=11/6이고 답은 110입니다. 미분가능성이라는 조건 하나가 미지수를 정하는 열쇠였습니다.

21번은 |a₁|=2, |aₙ₊₁|=2|aₙ|, a₁부터 a₁₀까지의 합이 −14인 수열에서 홀수 번째 항의 합을 묻습니다. 각 항은 ±2ⁿ이므로 부호 배치만 정하면 됩니다. 마지막 항 ±1024의 부호가 합 전체를 좌우하므로 a₁₀=−1024이어야 하고, 앞 아홉 항의 합이 1010이 되도록 거꾸로 부호를 정합니다. 그러면 a₁=−2, a₂=−4이고 나머지는 양수인 배치 하나만 남아, 홀수 번째 항의 합은 −2+8+32+128+512=678입니다.

미적분 30번과 29번

30번(4점, 93.9%)은 증가하고 미분가능한 f(x)가 f(1)=1, ∫₁²f(x)dx=5/4이고, 역함수 g에 대해 x≥1에서 g(2x)=2f(x)일 때 ∫₁⁸xf′(x)dx를 묻습니다. g(2x)=2f(x)는 'f의 그래프를 y=x에 대해 뒤집고 2배 늘리면 다음 구간의 그래프가 된다'는 뜻입니다. 이것으로 f(2)=2, f(4)=4, f(8)=8을 얻고, [2, 4]와 [4, 8]에서의 정적분을 앞 구간의 xf′(x) 적분으로 바꾸면 각각 7과 20이 나옵니다. 부분적분으로 ∫₁⁸xf′(x)dx=8f(8)−f(1)−∫₁⁸f(x)dx=139/4가 되어 답은 143입니다.

29번(4점, 85.5%)은 지름 AB=2인 반원에서 ∠PAB=θ, ∠QBA=2θ인 P, Q와 AP, BQ의 교점 R로 만든 넓이 f(θ)와, AB 위 S·BR 위 T·AR 위 U로 만든 정삼각형 STU의 넓이 g(θ)를 다룹니다. θ가 0에 가까우면 R은 x좌표 1/3 근처로 다가가고 f(θ)는 θ에 비례해 작아지며, 정삼각형의 높이는 약 4θ/3이 됩니다. g(θ)/(θf(θ))의 극한은 (2/9)√3이고 답은 11입니다.