2023학년도 9모 수학 확률과통계

2023학년도 9월 모의평가 수학(확률과 통계) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 13번과 15번

확률과 통계 응시자에게도 공통 22번(95.4%)과 21번(91.2%)이 오답률 90%를 넘겼고 20번(78.1%)이 뒤를 이었습니다. 이 페이지에서는 객관식 고난도인 13번(73.7%)과 15번(66.5%)을 살펴봅니다.

13번은 AB를 지름으로 하는 반원 위의 C, D와 AB의 중점 O에서 AD와 CO가 E에서 만나고, CE=4, ED=3√2, ∠CEA=3π/4일 때 AC×CD를 묻습니다. 반지름을 R로 두면 OE=R−4이고, 원의 할선 정리로 EA×ED=R²−(R−4)²=8R−16입니다. 삼각형 AOE에서 ∠AEO=π/4를 이용해 코사인법칙을 세우면 R=5, EA=4√2가 나옵니다. 그다음 삼각형 CEA와 CED에 코사인법칙을 쓰면 AC×CD=20√2(⑤)입니다.

15번은 a₄ₖ=rᵏ(0<|r|<1)이고, a₁<0이며 |aₙ|<5이면 aₙ₊₁=aₙ+3, |aₙ|≥5이면 aₙ₊₁=−aₙ/2인 수열에서 |aₘ|≥5인 100 이하 자연수 m의 개수 p와 a₁의 합을 묻습니다. 4번째 항마다 r의 거듭제곱이 되도록 a₁부터 a₄까지 경우를 나눠 보면 a₁=−14로 정해집니다. 이때 절댓값이 5 이상인 항은 100번째까지 26개이므로 p+a₁=12(③)입니다.

확률과 통계 30번과 29번

30번(4점, 96.0%)은 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로 가는 함수 f 중 치역 A의 원소가 3개 이하이고, f∘f의 치역 B와 원소 개수가 같으며, 모든 x에서 f(x)≠x인 것의 개수로 답은 260입니다. n(A)=n(B)라는 것은 f를 치역 A로만 제한해도 서로 다른 값으로 보내야 한다는 뜻이고, f(x)≠x이므로 A 위에서 f는 고정점 없는 일대일대응이어야 합니다. 그래서 n(A)가 2인 경우와 3인 경우로 나누어 A 안의 배치와 A 밖 원소들의 함숫값을 따로 세게 됩니다.

29번(4점, 91.1%)은 1~6 카드에서 복원 추출을 4번 한 평균이 11/4일 확률, 곧 네 수의 합이 11일 확률을 구하는 문항입니다. 합이 11이 되는 순서쌍은 104개라 확률은 104/1296=13/162이고 답은 175입니다. 각 수를 1 이상 6 이하로 제한한 상태에서 합이 11인 순서쌍을 세는 중복조합 문제로 바꾸는 것이 열쇠였습니다.