2023학년도 9모 수학 미적분

2023학년도 9월 모의평가 수학(미적분) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 21번과 20번

미적분 응시자 기준으로도 공통과목에서는 22번(95.4%)과 21번(91.2%)이 오답률 90%를 넘겼습니다. 이 페이지에서는 21번과 20번(78.1%)을 풀어 봅니다.

21번은 곡선 y=2^x 위의 P(a, 2^a), Q(b, 2^b)에서 PQ의 기울기를 m이라 하고, P와 Q를 지나며 기울기가 −m인 두 직선이 축과 만나는 점을 A, B, C로 둡니다. AB=4PB는 P가 선분 AB를 3:1로 나눈다는 뜻이라 x절편이 4a가 되고, 여기서 2^a/m=3a가 나옵니다. CQ=3AB는 기울기가 같은 두 선분의 길이 비를 x축 방향 길이의 비로 바꾸면 2^b/m=12a입니다. 두 식을 나누면 2^(b−a)=4, 곧 b=a+2입니다. 이를 m=(2^b−2^a)/(b−a)에 넣으면 m=3·2^a/2이므로 a=2/9입니다. 90(a+b)=90×(4/9+2)=220이 답입니다. 기울기가 같은 선분들의 길이 비를 가로 길이의 비로 옮기는 것이 핵심이었습니다.

20번은 f(x)=x³+x²−x와 g(x)=4|x|+k(k<0)의 그래프가 두 점에서만 만날 때 둘러싸인 넓이 S를 묻습니다. x≥0 쪽에서 직선 y=4x+k가 곡선에 접해야 교점이 두 개로 줄어드는데, f′(x)=4에서 x=1, k=−3입니다. 이때 두 그래프는 x=−1과 x=1에서 만나고, 그 사이 넓이를 계산하면 30S=80입니다.

미적분 30번, 96.5%

미적분 30번(4점, 96.5%)은 이 회차 미적분 응시자 기준 오답률 1위였습니다. 최고차항의 계수가 1인 사차함수 f(x)와 x>0에서 g(x)≥0인 g(x)가 (가) x≤−3에서 f(x)≥f(−3), (나) x>−3에서 g(x+3){f(x)−f(0)}²=f′(x)를 만족할 때 ∫₄⁵g(x)dx를 구합니다. (나)의 좌변은 x>−3에서 부호가 g에 달려 있어 0 이상이므로 f′(x)≥0이어야 하고, 이를 (가)와 합치면 f가 x=−3에서 최소인 꼴로 정해집니다. 그다음 g(x+3)=f′(x)/{f(x)−f(0)}²이 역도함수 −1/{f(x)−f(0)}의 도함수라는 점을 이용해 적분을 계산합니다.

29번(4점, 87.8%)은 f(x)=e^x+x에서 점 (t, 0)과 곡선 위의 점 사이 거리가 x=s에서 최소일 때 g(t)=f(s)로 두고, 그 역함수 h의 h′(1)을 묻습니다. 거리 제곱을 미분하면 t=s+f(s)f′(s)이고, f(s)=1이면 s=0이므로 t=2입니다. dt/ds=1+f′(0)²+f(0)f″(0)=6, df/ds=f′(0)=2이므로 h′(1)=6/2=3입니다. 곡선 위 점에서의 접선과 두 점을 잇는 선분이 수직이라는 조건이 곧 t=s+f(s)f′(s)입니다.