2018학년도 수능 수학 나형

2018학년도 수능 수학 나형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 135점, 전년보다 낮아졌다

나형은 수학Ⅱ·미적분Ⅰ·확률과 통계에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 135점(362명)으로 전년보다 낮아졌고, 1등급 구분 표준점수는 129점이었습니다. 교사단은 20·21·29·30번을 고난도 문항으로 꼽았습니다.

이차함수 조건 30번 93.4%, 21·29번은 같은 81.5%

가장 많이 틀린 30번(4점, 93.4%)은 이차함수로 정의한 함수의 조건 문항, 21번(81.5%)과 29번(81.5%)은 그래프로 주어진 함수와 구간별로 정의된 두 함수를 다룬 문항이었습니다. 26번(60.2%)은 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 문항이었습니다.

30번·29번·21번 풀이의 실마리

30번은 g(x)가 구간 [n, n+1)마다 'x + (f(x−n) − (x−n))/2ⁿ'으로 정의된 함수입니다. 한 구간에서 f(t) − t = (t − t²)/2를 적분하면 1/12이므로, ∫ₙⁿ⁺¹ g = n + 1/2 + 1/(12·2ⁿ)입니다. 이를 쌓으면 2aₙ − n²에는 1/(12·2ⁿ) 꼴의 '덤'의 합만 남고, 그대로 두면 극한은 1/3입니다. 그런데 h(x)는 5 ≤ x < k에서 2x − g(x)이므로 그 구간의 덤은 부호가 뒤집힙니다. 극한값이 1/3 − (1/3)(1/16 − 1/2ᵏ⁻¹)이 되고, 이것이 241/768이려면 2ᵏ⁻¹ = 256, 곧 k = 9입니다.

29번은 f(x)가 x ≤ a에서 0, x > a에서 (x−1)²(2x+1)인 함수가 실수 전체에서 미분가능해야 하므로, f(a) = 0과 f′(a) = 0을 함께 만족하는 a = 1이 먼저 정해집니다. 그다음 모든 x에서 f(x) ≥ 12(x − k)가 되게 하는 k의 최솟값은 기울기 12인 직선이 곡선에 접할 때입니다. f′(x) = 6x(x−1) = 12에서 접점은 x = 2, f(2) = 5입니다. 접선 y = 12(x − 2) + 5가 x축과 만나는 k = 19/12가 최솟값이고, a + p + q = 1 + 12 + 19 = 32입니다.

21번은 꺾은선 그래프의 f에 대해 X = {a, b}에서 X로의 함수 g = f∘f가 존재하고 g(a) = f(a), g(b) = f(b)인 집합 X의 개수를 셉니다. f(a)가 b라면 f(b) = b여야 하므로, X는 '두 원소가 모두 f의 고정점'이거나 '한 원소가 고정점이고 다른 원소가 f로 그 고정점에 가는 경우'뿐입니다. 고정점은 0, 7/4, 5/2, 7/2의 네 개라서 고정점끼리 6쌍이 나오고, 각 고정점으로 가는 다른 점을 그래프에서 찾으면 7쌍이 더해져 모두 13개, 정답은 ②입니다.