2017학년도 수능 수학 나형

2017학년도 수능 수학 나형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 137점, 오답률 50% 초과 10문항

나형은 수학Ⅱ·미적분Ⅰ·확률과 통계에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 137점(만점자 0.15%), 1등급 구분 표준점수는 131점이었고, 오답률 50%를 넘은 문항이 10개였습니다.

함수와 역함수의 방정식 30번 96.9%

가장 많이 틀린 30번(4점, 96.9%)은 실수에 대해 정의된 함수와 그 역함수로 만든 방정식 문항, 27번(82.3%)은 가형과 같은 순서쌍 개수 문항, 29번(77.2%)은 정규분포를 따르는 확률변수 문항이었습니다.

30번·29번 풀이의 실마리

30번은 f(x) = x³ − 3x² + 6x + k와 그 역함수 g에 대해 4f′(x) + 12x − 18 = f′(g(x))가 [0, 1]에서 실근을 갖는 k의 범위를 묻습니다. 역함수의 그래프를 그리기보다 양변을 정리하는 쪽이 빠릅니다. 좌변은 12x² − 12x + 6 = 3{(2x − 1)² + 1}, 우변은 3{(g(x) − 1)² + 1}이므로 방정식은 (2x − 1)² = (g(x) − 1)², 곧 g(x) = 2x 또는 g(x) = 2 − 2x가 됩니다. g(x) = 2x는 f(2x) = x와 같고, 이를 k에 대해 풀면 k = −8x³ + 12x² − 11x라 [0, 1]에서 k는 −7부터 0까지입니다. g(x) = 2 − 2x는 f(2 − 2x) = x와 같고, 같은 방식으로 k는 −8부터 1까지입니다. 두 범위를 합치면 m = −8, M = 1이고 m² + M² = 65입니다.

29번은 표준편차가 5인 정규분포에서 f(10) > f(20)이므로 평균 m은 15보다 작고, f(4) < f(22)이므로 13보다 큽니다. m이 자연수이니 m = 14입니다. 그러면 P(17 ≤ X ≤ 18) = P(0.6 ≤ Z ≤ 0.8) = 0.288 − 0.226 = 0.062이고, 1000a = 62입니다. 확률밀도함수의 값을 비교하는 조건을 '평균에서 더 가까운 쪽이 크다'로 바꾸는 것이 출발점이었습니다.