2018학년도 수능 수학 가형

2018학년도 수능 수학 가형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 130점, 최고점자 165명

가형은 미적분Ⅱ·확률과 통계·기하와 벡터에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 130점으로 전년과 같았고 최고점자는 165명, 1등급 구분 표준점수는 123점이었습니다. 시험 당일 교사단은 20·21·30번을 새 유형으로 꼽았습니다.

정적분으로 정의한 함수 30번 97.3%

가장 많이 틀린 30번(4점, 97.3%)은 정적분으로 새롭게 정의된 함수의 성질을 추론하는 문항이었습니다. 29번(93.5%)은 좌표공간에서 구가 평면과 만나 생기는 원 위의 점을 다룬 공간도형 문항, 21번(73.0%)은 로그함수를 포함한 함수의 객관식 문항, 27번(64.1%)은 쌍곡선의 두 초점과 그 위의 점을 다룬 이차곡선 문항이었습니다.

30번·29번·27번 풀이의 실마리

30번의 f(x)는 x = t를 꼭짓점으로 하는 높이 1, 밑변 2의 삼각형 모양이고, g(t)는 이 삼각형에 cos(πx)를 곱해 [k, k+8]에서 적분한 값입니다. 삼각형이 적분 구간 안에 완전히 들어 있을 때 g(t)는 홀수 t에서 −4/π²로 가장 작아집니다. 구간 끝 t = k, k+8에서는 삼각형이 절반만 걸려 −2/π²의 극솟값을 갖습니다. 따라서 극소이면서 음수인 α는 k, k+2, …, k+8의 다섯 개이고, 그 합 5k + 20 = 45에서 k = 5입니다. g(αᵢ)의 합은 (−2 −4 −4 −4 −2)/π² = −16/π²이므로 답은 5 + 16 = 21입니다.

29번의 원 C는 중심 (1, 0, 2), 반지름 1이고, y좌표가 가장 작은 점 P = (1, −1, 2)와 그 정사영 Q = (1, −1, 0)이 정해집니다. PX + QX는 PQ의 중점 M = (1, −1, 1)에 대해 2·MX와 같으므로 |MX|의 최댓값만 구하면 됩니다. 중심에서 M까지의 벡터를 평면에 수직인 성분(크기 2/√5)과 평면 위 성분(크기 √(6/5))으로 나누면 |MX|²의 최댓값은 (1 + √(6/5))² + 4/5입니다. 여기에 4를 곱하면 12 + (8/5)√30이고, 10(a + b) = 136입니다.

27번은 쌍곡선 x²/8 − y²/17 = 1(초점 거리 5) 위의 점 P에서 두 초점으로 그은 직선에 동시에 접하는 원이 y축 위에 중심을 둔 상황입니다. 원의 중심이 y축 위에 있으므로 두 초점에서 원에 그은 접선의 길이가 5√2로 같습니다. 이 사실과 쌍곡선의 정의 FP − F′P = 4√2를 함께 쓰면 PQ = 2√2, F′P = 3√2, FP = 7√2가 나와 FP² + F′P² = 116입니다.