2018학년도 9모 수학 나형

2018학년도 9월 모의평가 수학 나형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 142점, 오답률 50% 초과 9문항

나형은 수학Ⅱ·미적분Ⅰ·확률과 통계에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 142점(435명), 1등급 구분 표준점수는 133점이었고, 오답률 50%를 넘은 문항이 9개였습니다.

구간별 두 함수 30번 97.2%

가장 많이 틀린 30번(4점, 97.2%)은 구간별로 정의된 두 함수의 조건을 다룬 문항, 29번(83.4%)은 모든 실수에서 관계식을 만족시키는 두 삼차함수 문항이었습니다.

30번·29번 풀이의 실마리

30번의 h(x) = k{f(x) − f(x−a) − f(x−b) + f(x−2)}는 기울기 k로 올라가 ka에서 평평해졌다가 다시 내려오는 사다리꼴 모양입니다. x ≥ 2에서 h(x) = k(a + b − 2)가 0이어야 하므로 b = 2 − a인 좌우 대칭 사다리꼴입니다. h ≤ g가 되려면 원점에서 출발하는 직선 kx가 포물선 x(2−x) 아래에 있어야 하므로 k ≤ 2 − a입니다. 적분값을 최소로 하려면 사다리꼴 넓이 ka(2 − a)를 최대로 해야 하고, k = 2 − a를 넣은 a(2 − a)²이 최대가 되는 a = 2/3에서 k = b = 4/3입니다. 따라서 60(k + a + b) = 200입니다.

29번은 f(x)g(x) = (x−1)²(x−2)²(x−3)²인 두 삼차함수에서, 최고차항 계수가 3인 g가 x = 2에서 극대라는 조건으로 g를 정합니다. g가 (x−2)를 한 번만 가지면 x = 2에서 극값이 생기지 않으므로 g는 (x−2)²을 가집니다. 남은 인수 (x−1)과 (x−3) 가운데 x = 2 근처에서 g를 0 이하로 만드는 것은 (x−3)이라 g(x) = 3(x−2)²(x−3)입니다. 그러면 f(x) = (x−1)²(x−3)/3이고, f′(0) = 7/3이므로 p + q = 10입니다.