2019학년도 수능 수학 나형

2019학년도 수능 수학 나형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 139점, 객관식 21번도 85.7%

2019학년도 수능 수학 나형은 수학Ⅱ·미적분Ⅰ·확률과 통계에서 출제되었고, 표준점수 최고점은 139점(810명), 1등급 구분 표준점수는 130점이었습니다. EBSi 가채점 응답자 기준으로 오답률 50%를 넘은 문항은 8개였습니다. 30번(96.2%)과 29번(91.8%) 외에 객관식 21번도 85.7%에 이르렀습니다.

30번: f부터 확정하기

(가)에서 f(x) = x³ + px², g(x) = −(x − 2)²입니다. 점 (2, 0)에서 f에 그은 접선의 접점 t는 t(−2t² + (6 − p)t + 4p) = 0을 만족하므로, 접선이 2개이려면 p = 0이거나 이차식이 중근을 가져야(p = −2, −18) 합니다. f(x) = g(x)가 실근을 하나만 가진다는 (다)를 대 보면 p = −2, −18은 근이 셋이라 탈락하고 f(x) = x³입니다.

30번: (0, −2)를 지나는 직선의 기울기

kx − 2는 늘 점 (0, −2)를 지나는 직선이므로, x > 0에서 g 위쪽·f 아래쪽에 끼는 기울기의 범위를 찾으면 됩니다. f(x) = x³에는 x = 1에서 접하는 기울기 3이 최댓값이고, g에는 (0, −2)에서 그은 접선의 기울기 4 − 2√2가 최솟값입니다. α − β = −1 + 2√2이므로 a² + b² = 1 + 4 = 5입니다.

29번: 절댓값 합의 차이

첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열은 부호가 번갈아 바뀝니다. (가)와 (나)의 차 40은 b₂와 b₄의 절댓값 합의 2배이고, (나)와 (다)의 차 14는 음수가 된 a_n 항들의 절댓값 합의 2배입니다. 이 두 조건으로 경우를 좁히면 a₁ = 7, 공차 −3, b₁ = 2, 공비 −2이고, a₇ + b₇ = −11 + 128 = 117입니다.

21번

21번은 모든 실수에서 성립하는 관계식과 함숫값 조건으로 최고차항의 계수가 1인 삼차함수를 정한 뒤, 그 삼차함수로 만든 함수가 연속이 되도록 하는 문항이며 정답은 ①입니다.