2019학년도 9모 수학 나형

2019학년도 9월 모의평가 수학 나형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 139점, 30번은 97.0%

2019학년도 9월 모평 수학 나형은 수학Ⅱ·미적분Ⅰ·확률과 통계에서 출제되었고, 표준점수 최고점은 139점, 1등급 구분 표준점수는 133점이었습니다. EBSi 가채점 응답자 기준으로 오답률 50%를 넘은 문항은 8개였고, 30번(97.0%), 29번(85.3%), 21번(67.0%)이 상위였습니다.

30번: 고정점과 서로 바뀌는 두 점

(f∘f)(x) = x의 근은 f(x) = x인 고정점과, f(p) = q, f(q) = p처럼 서로 자리를 바꾸는 두 점으로 이루어집니다. 삼차함수의 고정점은 많아야 3개인데 근이 다섯 개이고 f′(1), f′(2)가 모두 음수이므로, 1과 2가 서로 바뀌는 쌍이고 0, a, b가 고정점입니다. f(x) = x + kx(x − a)(x − b)로 놓으면 f(1) = 2, f(2) = 1에서 k(1 − a)(1 − b) = 1, 2k(2 − a)(2 − b) = −1입니다.

30번: 미분계수 조건으로 마무리

f′(0) − f′(1) = 6을 정리하면 k(ab + a + b − 2) = 7입니다. 세 식을 함께 풀면 a = 3/2, b = 3, k = 1이고, 1 < a < 2 < b라는 조건과도 맞습니다. f(x) = x + x(x − 3/2)(x − 3)이므로 f(5) = 5 + 5 × 7/2 × 2 = 40입니다.

29번: 이동 거리의 합은 n²/25

Aₙ까지 이동한 거리는 (1 + 3 + … + (2n − 1))/25 = n²/25입니다. 계단 모양 경로에서 직선 y = x 위의 점은 이동 거리가 짝수인 곳, 곧 (k, k)이고 그때 이동 거리는 2k입니다. n²/25가 짝수가 되려면 n²이 50의 배수여야 하므로 n = 10, 20, …이고, 이동 거리는 4, 16, …입니다. 두 번째 점은 (8, 8)이라 a = 8입니다.

21번

21번은 모든 실수에서 성립하는 조건과 정적분으로 정의된 함수의 조건을 이용해 사차함수를 정하고 함숫값을 구하는 문항이며, 정답은 ④입니다.