2018학년도 6모 수학 가형

2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

최고점 138점, 오답률 50% 초과 9문항

가형은 미적분Ⅱ·확률과 통계·기하와 벡터에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 138점(420명), 1등급 구분 표준점수는 127점이었고, 오답률 50%를 넘은 문항이 9개였습니다.

로그함수 조건 30번과 두 원 위의 벡터 29번

가장 많이 틀린 30번(4점, 92.5%)은 로그함수를 포함해 정의한 함수의 조건 문항, 29번(90.0%)은 중심과 반지름이 다른 두 원 위의 점을 다룬 평면벡터 문항이었습니다.

30번·29번 풀이의 실마리

30번의 g(x)는 F(x) = ∫₀ˣ f(t)dt라 하면 F(x) − F(a)와 같으므로, g의 그래프가 x축과 두 점에서 만나는 조건은 수평선 y = F(a)가 F의 그래프와 두 점에서 만나는 조건으로 바뀝니다. f(x) = ln(x⁴+1) − c는 우함수라 F는 기함수이고, f의 두 근 ±r에서 극대·극소를 가집니다. 수평선이 극댓값이나 극솟값에 접할 때만 교점이 2개이므로, 가능한 a는 −r, r과 그 높이를 다른 쪽에서 다시 지나는 두 점을 합한 4개이고 m = 4입니다. 가장 작은 α₁일 때 g는 x = r에서 극소인데 (가)에서 그 위치가 1이므로 r = 1, 곧 eᶜ = 2입니다. F가 기함수이고 α₁ = −α₄라서 (나)의 적분은 −2α₄F(1) = 2α₄∫₀¹|f(x)|dx가 되어 k = 2입니다. 따라서 mk × eᶜ = 4 × 2 × 2 = 16입니다.

29번은 반지름 1, 3인 두 원 위의 A, B와 조건을 만족하는 P에 대해 PA·PB의 최솟값을 구하는 문항입니다. (나)의 |PA|² + |PB|² = 20을 전개하면 OP·(OA + OB) = |OP|² − 5이고, 이를 PA·PB에 넣으면 PA·PB = OA·OB + 5로 P가 사라집니다. OA·OB의 최솟값 −3은 B가 A의 정반대 방향(OB = −3OA)일 때인데, 이때 (가)는 OP ⊥ OA라는 조건이 되어 실제로 가능한 P가 있습니다. 이 경우 OA + OB = −2OA라서 OP·(OA + OB) = 0이고 |OP|² = 5입니다. m = 2, k² = 5이므로 m + k² = 7입니다.