2017학년도 수능 수학 가형

2017학년도 수능 수학 가형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

가형이 처음 도입된 수능, 최고점 130점

수학 가형이 처음 도입된 수능으로, 미적분Ⅱ·확률과 통계·기하와 벡터에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 130점(만점자 0.07%), 1등급 구분 표준점수는 124점이었습니다.

사차함수 조건 30번 96.5%와 정사면체 29번

가장 많이 틀린 30번(4점, 96.5%)은 함수와 최고차항의 계수가 주어진 사차함수가 조건을 만족시킬 때 값을 구하는 문항, 29번(88.7%)은 정사면체에서 무게중심과 중점으로 정한 점을 다룬 공간도형 문항, 27번(70.6%)은 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 순서쌍의 개수를 세는 문항으로 나형과 공통이었습니다.

30번·29번 풀이의 실마리

30번은 x > a에서 (x − a)f(x) = g(x)인 함수 f와 최고차항 계수가 −1인 사차함수 g를 다룹니다. 평행 이동으로 a = 0으로 두면 f(x) = g(x)/x입니다. f가 x = α, β에서 같은 극댓값 M을 가진다는 것은 x > 0에서 g(x) ≤ Mx이고, 등호가 α, β에서만 성립한다는 뜻입니다. 따라서 g(x) = Mx − (x − α)²(x − β)²로 정해집니다. 이제 (다) 조건은 'f는 극값이 3개인데 g는 그보다 적어야 한다', 곧 g′ = 0의 실근이 하나뿐이어야 한다는 조건으로 바뀝니다. α, β의 중점을 원점으로 옮겨 d = 3√3이라 하면 g′(t) = M − 4t³ + 4d²t입니다. 이 식의 근이 하나뿐이려면 M이 4t³ − 4d²t의 극댓값 8d³/(3√3) = 216 이상이어야 하므로, M의 최솟값은 216입니다.

29번은 한 모서리가 4인 정사면체에서 △ABC의 무게중심 O와 AD의 중점 P를 잡고, 면 BCD 위의 점 Q 가운데 OQ ⊥ OP인 점에 대해 |PQ|의 최댓값을 구하는 문항입니다. OQ ⊥ OP라는 조건은 Q가 O를 지나고 OP에 수직인 평면 위에 있다는 뜻입니다. 따라서 Q는 이 평면과 면 BCD가 만나는 선분 위를 움직입니다. 그 선분의 양 끝점 가운데 P에서 더 먼 쪽이 최댓값을 주고, 좌표를 잡아 계산하면 |PQ|의 최댓값은 14/5, p + q = 19입니다.