2021학년도 수능 수학 가형

2021학년도 수능 수학 가형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

기하가 빠진 가형, 주관식 27~30번 모두 70% 이상

가형은 기하가 빠지고 수학Ⅰ·미적분·확률과 통계에서 출제되었습니다. 표준점수 최고점은 137점으로 전년(134점)보다 3점 올랐고, 최고점자는 971명, 1등급 구분 표준점수는 130점이었습니다. EBSi 가채점 응답자 기준으로 오답률 50%를 넘은 문항은 7개였고, 주관식 27~30번이 모두 70%를 넘었습니다. 30번(91.8%), 29번(86.4%), 28번(80.5%), 27번(71.3%) 순입니다.

30번: 안쪽 함수 sin²πx가 만드는 대칭

t = sin²πx는 0 < x < 1에서 0에서 1까지 올랐다가 x = 1/2을 기준으로 대칭으로 다시 0으로 내려갑니다. 그래서 f가 (0, 1) 안에서 t = c일 때 극대이면 g는 x = 1/2 양쪽에서 한 번씩, 모두 두 번 극대가 됩니다. 극대가 3개가 되려면 나머지 하나는 x = 1/2(t = 1)에서 나와야 하고, f가 t = 1 쪽으로 증가해야 합니다. 극댓값이 모두 같고 최댓값이 1/2이므로 f(c) = f(1) = 1/2이고, 최고차항의 계수가 1이니 f(t) = (t − c)²(t − 1) + 1/2로 쓸 수 있습니다.

30번: 최솟값 0이 c를 정한다

g의 값의 범위는 [0, 1]에서 f가 갖는 값과 같습니다. 극솟값 1/2 − 4(1 − c)³/27을 0으로 두면 c가 음수가 되어 맞지 않으므로, 최솟값 0은 f(0) = 1/2 − c²에서 나옵니다. c = 1/√2이고, f(2) = (2 − 1/√2)² + 1/2 = 5 − 2√2이므로 a = 5, b = −2, 답은 25 + 4 = 29입니다.

29번: A의 검은색 모자로 나누기

A가 검은색 6개를 모두 가져가면 검은색이 흰색보다 많은 학생이 A 하나뿐이라 조건 (다)를 만족할 수 없습니다. 따라서 A의 검은색은 4개 또는 5개이고, 남은 검은색 2개나 1개를 받은 학생 가운데 정확히 한 명만 검은색이 흰색보다 많아야 합니다. 모든 학생이 모자를 하나 이상 받는다는 조건까지 넣어 세면 A가 4개일 때 156가지, 5개일 때 45가지로 모두 201가지입니다.

28번과 27번

28번은 함수와 그 역함수의 합성함수가 실수 전체에서 미분가능하다는 조건으로 두 상수를 정하는 문항으로, 답은 72입니다. 27번은 두 로그의 값이 정해진 범위의 자연수가 되도록 하는 자연수의 개수를 세는 문항이며, 답은 13입니다.