2022학년도 수능 수학 기하

2022학년도 수능 수학(기하) 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

공통과목, 22번 93.0%

2022학년도 수능은 수학이 공통+선택 체제로 바뀐 첫 시험이었습니다. 공통과목은 22번(4점)의 오답률이 93.0%(EBSi 가채점 응답자 기준)였고, 20번(84.9%), 21번(73.2%), 객관식 14번(70.4%)과 15번(62.8%)이 뒤를 이었습니다.

22번은 최고차항의 계수가 1/2인 삼차함수 f(x)에 대해, f′(x)=0이 닫힌구간 [t, t+2]에서 갖는 실근의 개수를 g(t)로 정의합니다. 조건은 (가) 모든 a에서 g(t)의 우극한과 좌극한의 합이 2 이하, (나) g(f(1))=g(f(4))=2, g(f(0))=1입니다. g가 2가 되려면 f′의 두 근 α, β가 길이 2인 구간에 함께 들어가야 합니다. 그런데 β−α<2이면 그런 t가 구간을 이루어 좌우극한의 합이 4가 되므로 (가)에 어긋납니다. 결국 두 근의 간격이 정확히 2이고 g(t)=2인 t는 α 하나뿐이어야 합니다. 그러면 (나)에서 f(1)=f(4)=α가 되어 f(x)=½(x−1)(x−4)(x−c)+α 꼴로 놓을 수 있고, 도함수의 두 근이 α, α+2라는 조건에서 α=1 또는 2가 나옵니다. g(f(0))=1까지 맞는 것은 α=1, 곧 f(x)=½(x−1)²(x−4)+1이며 f(5)=9입니다.

기하 29·30번, 둘 다 92%

기하 29번(4점, 92.2%)은 |OA|=√2, |OB|=2√2, cos∠AOB=1/4인 평행사변형 OACB에서 OP=sOA+tOB(0≤s, t≤1)이고 OP·OB+BP·BC=2인 점 P를 다룹니다. 둘째 조건은 P에 대해 일차식이라 P의 자취는 평행사변형 안의 선분이 됩니다. 원점 중심 반지름 √2인 원 위의 X에 대해 |3OP−OX|의 최댓값은 |OP|의 최댓값 √2를 써서 M=4√2입니다. 최솟값은 원점에서 그 선분까지의 거리 √3/2를 써서 m=3√3/2−√2가 됩니다. M×m=6√6−8이므로 답은 6²+8²=100입니다.

30번(4점, 92.3%)은 중심이 C(2, √5, 5)이고 P(0, 0, 1)을 지나는 구 S가 평면 OPC와 만나 생기는 원 위의 Q, 구 위의 R을 xy평면에 정사영한 Q₁, R₁로 삼각형 OQ₁R₁의 넓이가 최대가 되게 한 뒤, 그 삼각형을 평면 PQR 위로 다시 정사영한 넓이를 묻는 문항이었습니다. 정사영을 두 번 거치면서 각 단계의 평면이 이루는 각을 따로 구해야 했습니다. 기하 응시자에게는 공통 22번과 선택 29·30번이 모두 92%를 넘었습니다.