2015학년도 수능 수학 B형

2015학년도 수능 수학 B형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

B형 만점자 4.30%, 1등급 비율을 넘은 첫 수능

수학 B형은 표준점수 최고점과 1등급 구분 표준점수가 모두 125점으로, 만점자 4.30%(6,630명)가 1등급 비율(4%)을 넘어 만점이어야 1등급이었습니다. 영역 만점자가 1등급 비율보다 많았던 것은 수능 사상 처음이었고, 원점수 1등급 컷은 100점이었습니다.

30번 89.8%, 50% 초과는 4문항

EBSi 가채점 응답자 기준으로 B형은 30번(89.8%)과 29번(70.9%)이 가장 어려웠고, 오답률 50%를 넘은 문항은 4개뿐이었습니다.

B형 30번·29번 풀이의 실마리

B형 30번은 f(x) = e^{x+1} − 1에 대해 g(x) = 100|f(x)| − Σ|f(xᵏ)|(k = 1~n)가 실수 전체에서 미분가능한 n을 모두 구하는 문항입니다. |f(x)|는 f가 0이 되는 x = −1에서 꺾이고, f(xᵏ)는 xᵏ = −1, 곧 k가 홀수일 때만 x = −1에서 0이 됩니다. x = −1에서 100|f(x)|가 꺾이는 정도는 100이고, k가 홀수인 항 |f(xᵏ)|는 각각 k만큼 꺾이므로, g가 매끄러우려면 n 이하 홀수의 합이 100이어야 합니다. 홀수를 1부터 m개 더하면 m²이므로 m = 10, 곧 홀수 19까지 포함해야 해 n = 19, 20이고 합은 39입니다. 절댓값 함수의 '꺾임'을 미분계수의 차로 바꾸어 세는 것이 핵심이었습니다.

B형 29번은 구 x² + y² + z² = 50 위의 점 P(0, 5, 5)를 지나는 평면이 구와 만나 반지름 1인 원 C를 만들 때, C를 xy평면에 정사영한 넓이의 최댓값을 구하는 문항입니다. 반지름이 1이면 평면은 구의 중심에서 7만큼 떨어져 있고, 평면의 단위 법선 벡터 n은 n·(0, 5, 5) = 7을 만족합니다. 정사영 넓이는 π × |n의 z성분|이므로 이 성분을 최대로 하면 되고, 계산하면 4/5입니다. 넓이의 최댓값은 (4/5)π, p + q = 9입니다.