2013학년도 수능 수학 가형

2013학년도 수능 수리 가형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

가형 최고점 139점, 체감 난도는 높았다

수리 가형은 표준점수 최고점 139점, 만점자 1,114명(0.76%), 1등급 구분 표준점수 132점이었습니다. 평가원은 전년보다 쉽게 냈다고 했지만, 수험생과 교사들은 새로운 유형과 뒤쪽 번호의 고난도 문항 때문에 체감 난이도가 높았다고 평가했습니다.

로그 영역 격자점 30번과 '작은 값' 함수 21번

30번(나형과 공통)은 자연수 n에 대해 로그함수로 정해지는 영역 안에서 x좌표와 y좌표가 같은 정수인 점의 개수를 세는 문항이었습니다. 29번은 삼각형의 한 각을 1 : 2로 나누는 선분 길이의 극한을 구하는 문항, 21번은 곡선 위의 점에서 두 축까지의 거리 중 작은 값으로 만든 함수의 미분가능성을 묻는 문항이었습니다.

29번: 각 C를 1 : 2로 나누면

29번 삼각형 ABC는 AB = 1, ∠A = θ, ∠B = 2θ라 ∠C = π − 3θ입니다. D를 ∠ACD = 2∠BCD가 되게 잡으면 ∠BCD = π/3 − θ이고, 삼각형 BCD에서 ∠BDC = 2π/3 − θ입니다. 사인법칙으로 BC = sinθ/sin3θ, CD = BC × sin2θ/sin(2π/3 − θ)이고, θ가 0에 가까울 때 BC는 1/3, sin2θ는 2θ, sin(2π/3 − θ)는 √3/2에 다가갑니다. 그래서 a = 4/(3√3), 27a² = 16입니다.

21번과 30번

21번 g(t)는 곡선 y = kx²e⁻ˣ 위의 점에서 x축까지 거리 f(t)와 y축까지 거리 |t| 중 작은 값입니다. t < 0 쪽에서는 −kte⁻ᵗ = 1을 만족하는 t가 언제나 하나 있어 두 그래프가 엇갈리며 꺾이는 점이 반드시 생깁니다. 따라서 t > 0 쪽에서는 새 꺾임이 없어야 하고, kte⁻ᵗ의 최댓값 k/e가 1을 넘지 않아야 합니다. k = e이면 y = f(x)가 t = 1에서 직선 y = x에 접해 기울기가 같으므로 g는 미분가능하고, k의 최댓값은 e(⑤)입니다.

30번은 나형과 공통 문항으로, 2ˣ − n ≤ x와 x ≤ log₂(x + n)이 모두 2ˣ ≤ x + n으로 정리된다는 점에서 출발해 n = 1부터 30까지 더한 값은 573입니다.