2014년 4월 고3 학력평가 수학 B형

2014년 4월 고3 학력평가 수학 B형 해설

2026-10-15 수정 · 이 회차 전체 해설 보기

A형보다 낮았던 B형의 1등급 컷

이 회차 수학 B형은 입시기관 집계 1등급 구분 원점수가 80점으로 A형(82점)보다도 낮았고, 표준점수 최고점은 159점이었습니다. 오답률이 50%를 넘은 문항은 11개였고, 30번은 EBSi 가채점 응답자의 94%가 틀렸습니다. 단답형 마지막 네 문항이 모두 오답률 70~90%대에 몰려, 객관식을 다 맞혀도 1등급을 장담하기 어려웠던 시험입니다.

30번: 원점을 지나는 직선과 만나는 횟수

30번의 f(x) = ln x²/x는 x = 0을 뺀 실수에서 정의된 홀함수이고, x > 0에서 2 ln x/x의 극댓값은 x = e에서 α = 2/e입니다. 방정식 f(x) − (α/n)x = 0의 실근 수는 곡선 y = f(x)와 원점을 지나는 직선 y = (α/n)x의 교점 수입니다. x > 0 쪽만 보면 2 ln x/x² = α/n과 같고, 왼쪽 함수의 최댓값이 x = √e에서 1/e입니다.

α/n = 2/(en)을 1/e와 비교하면 n = 1일 때는 더 커서 교점이 없고, n = 2일 때는 같아서 한 번 접하며, n ≥ 3이면 작아서 두 번 만납니다. 홀함수이므로 x < 0 쪽도 똑같은 수만큼 만나므로 a₁ = 0, a₂ = 2, n ≥ 3에서 aₙ = 4이고, 10까지의 합은 34입니다. 식을 x로 한 번 더 나눈 새 함수 2 ln x/x²의 최댓값과 α/n을 비교하는 것이 핵심입니다.

29번: 두 직선이 이루는 각 π/6

29번은 반지름 1인 원의 중심 O에서 거리 2인 점 A에서 원과 두 점에서 만나는 두 직선을 그었고, 두 직선이 이루는 각이 π/6입니다. 각 직선이 AO와 이루는 각을 θ₁, θ₂라 하면 O까지의 거리는 2 sin θ로, 원과 만나려면 sin θ < 1/2이어야 하므로 두 직선은 AO의 양쪽에 놓이고 θ₁ + θ₂ = π/6입니다.

2l² + m² = 8 sin²θ₁ + 4 sin²θ₂를 배각 공식으로 정리하면 6 − (5 cos 2θ₁ + √3 sin 2θ₁)이 되고, 괄호 안의 최댓값 2√7이 허용된 범위 안에서 나오므로 최솟값은 6 − 2√7, 답은 30(p + q) = 120입니다.

28번과 21번: 넓이의 극한과 정사각형의 겹침

28번은 선분 OC를 n등분한 점 Dₖ(0, k/n)와 A(−1, 0)를 잇는 직선이 포물선 y = −x² + 1과 다시 만나는 점 Pₖ를 구하는 문항입니다. 기울기를 t = k/n이라 하면 교점의 x좌표가 1 − t로 깔끔하게 나와 삼각형 넓이는 t(2 − t)²/2이고, 구분구적법으로 0부터 1까지 적분하면 α = 11/24, 24α = 11입니다.

21번은 한 변이 2인 정사각형의 중심이 단위원 위를 움직일 때 정사각형 ABCD와 겹치는 넓이의 최댓값을 구했습니다. 중심을 (cos θ, sin θ)로 두면 겹치는 부분은 가로 cos θ, 세로 1 + sin θ인 직사각형이어서, cos θ(1 + sin θ)를 미분하면 sin θ = 1/2에서 최댓값 3√3/4가 나옵니다.